Cấp GCNQSD đất khi có tranh chấp về nguồn gốc đất

Trường hợp hộ gia đình xin cấp giấy chứng nhận quyền sử dụng đất đối với thửa đất của gia đình nhưng do trước đây khi đo đạc địa chính có nhầm lẫn đã cho vào phần đất do Uỷ ban nhân dân thị trấn quản lý, mục đích sử dụng là đất: Thủy Lợi. Tuy nhiên thửa đất này thực chất là một rãnh mương do gia đình đào để lấy nước tưới tiêu và nằm trong thửa đất vườn của gia đình, vẫn do gia đình quản lý và sử dụng từ trước tới nay, hiện trạng đã san lấp làm một thửa. Phần diện tích đất vườn đã được cấp giấy chứng nhận quyền sử dụng đất, và hiện nay hộ gia đình có nhu cầu xin cấp thêm phần diện tích trước đây đào làm mương gộp vào làm một thửa, đã có biên bản xác minh nguồn gốc và quá trình sử dụng đất của Khu phố và thị trấn xác nhận phần diện tích dó là đất của hộ gia đình quản lý và sử dụng từ trước đến nay. Vậy trong trường hợp này hộ gia đình có được phép cấp phần diện tích đất mương gộp vào phần diện tích đất vườn đã được cấp giấy không? Và tại 2 thời điểm áp dụng 2 luật đất đai khác nhau thì phần nguồn gốc, thời hạn sử dụng đất sẽ được thể hiện như thế nào? Hộ gia đình có được làm thủ tục xin giao đất không?